最近邻搜索的目标是从 $N$ 个对象中，快速找到距离查询点最近的对象。根据需求的不同，该任务又分为「精准查找」与「近似查找」，并且查找的目标也分为「找到前 $K$ 个最近的对象」与「找到距查询点距离小于 $r$ 的对象」。处理此类任务的关键在于组织已有对象的数据结构，大致分为以下三类：
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树型结构：例如 Vantage-Point Tree (VP-Tree) [1]、M-Tree [2]、Cover Tree [3]、Faster Cover Trees [4] 等； -
图型结构：例如 Hierarchical Navigable Small World (HNSW) [5]、Locallyadaptive Vector Quantization (LVQ) [6] 等； -
哈希方法：例如 Locality Sensitive Hashing (LSH) 中的 SimHash、MinHash 等。
在当前时代下，如果你的对象就是向量，使用的距离度量也是常见度量（e.g., 欧式距离、余弦相似度等），可以直接调用一些成熟的向量数据库或最近邻检索算法库解决问题。
本文主要对一个经典的树型结构 M-Tree 进行介绍（已提出 20 多年，在数据库领域有大量应用），其特点是：
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支持任意满足对称性 (Symmetry)、非负性 (Non-negativity)、三角不等式 (Triangle Inequality) 的距离度量；
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支持整体数据结构的动态维护，即根据新对象的插入对整体结构做局部调整。
M-Tree 结构
M-Tree 中分为内部节点和叶节点，其中每个内部节点包含一个路由对象 (Routing Objects) $O_r$，并且动态维护该路由节点所覆盖的半径 $r(O_r)$，即 $O_r$ 对应子树中的所有点，距 $O_r$ 的距离小于等于 $r(O_r)$。维护每个内部节点的覆盖半径，可用于后续近邻查搜过程中的快速剪枝，避免遍历整棵树。
每个内部节点还需维护其与父节点 $P(O_r)$ 之间的距离（同样用于后续查搜时的快速剪枝），具体维护的信息如下所示：
与内部节点不同的是，每个叶节点无需维护其覆盖半径，并且该节点直接指向具体的数据点，具体维护的信息如下所示：
需要注意的是，所有的数据点都会出现在叶节点中，内部节点中的路由对象为一些 “关键” 数据点的拷贝。
M-Tree 查搜
近邻查搜通常分为两种，一种是 Range Queries，即对于待查询数据 $Q$，查找所有满足 $d(O_j,Q)\leq r(Q)$ 的数据 $O_j$；另一种是 Nearest Neighbor Queries，即查找距查询数据 $Q$ 最近的前 $k$ 个数据点。
首先介绍 Range Queries，其查搜时有两种剪枝方式。假设当前查询节点为 $O_r$，其与查询点 $Q$ 之间的距离为 $d(O_r,Q)$，则 $O_r$ 子树内任意点 $O’$ 满足（距离三角不等式）：
因此如果 $O_r$ 满足 $d(O_r,Q)>r(Q)+r(O_r)$，即 $d(O’,Q)>r(Q)$，则无需再遍历 $O_r$ 子树内的节点，此为第一种剪枝方式。
此外，假设 $O_r$ 的父节点为 $O_p$，其距 $Q$ 的距离为 $d(O_p,Q)$，则 $O_r$ 子树内任意点 $O’$ 满足（距离三角不等式）：
因此如果 $O_r$ 满足 $|d(O_r,Q_p)-d(O_p,Q)|>r(Q)+r(O_r)$，则可以直接将整颗 $O_r$ 子树剪枝，并且无需计算 $d(O_r,Q)$，此为第二种剪枝。
以下为 M-Tree 执行 Range Queries 的具体算法：
接下来是 Nearest Neighbor Queries，其剪枝思路与 Range Queries 类似，只是将查询范围 $r(Q)$ 换成了 $d_k$，即当前距 $Q$ 第 $k$ 小的距离。另外 $d_{min}(T(O_r))=\max{d(O_r,Q)-r(O_r),0},d_{max}(T(O_r))=d(O_r,Q)+r(O_r)$ 分别代表 $O_r$ 子树中距 $Q$ 可能的最小和最大距离，执行 Nearest Neighbor Queries 的具体算法如下所示：
M-Tree 构建
M-Tree 的构建为依次插入新的数据点，其中每个叶节点可以存储多个数据点，如果叶节点满了，则会进行节点分裂，进而动态地维护整颗树结构。
M-Tree 数据插入
在每一层插入新数据点时，首先选择不会使内部节点覆盖半径变大的节点，如果不存在这样的节点，则选择使覆盖半径变大幅度最小的节点，具体算法如下所示：
M-Tree 节点分裂
如果最后插入的叶节点满了，则需要进行分裂。具体分裂过程为：
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从当前节点 N 的所有数据点 + 新数据点 $O_n$ 中选出两个代表节点 $O_{p_1}$ 和 $O_{p_2}$，对应 Promote 操作；
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将这些数据点集合 $\mathcal{N}$ 分为距 $O_{p_1}$ 更近的 $\mathcal{N}_1$ 和距 $O_{p_2}$ 更近的 $\mathcal{N}_2$，对于 Partition 操作；
- 将 N 中的路由节点替换为 $O_{p_1}$，并判断 N 的上层节点是否满了，如果没满则插入 $O_{p_2}$，否则继续向上进行分裂。
整体算法如下所示：
节点分裂之后，仍需维护新增节点的覆盖半径，具体如下：
节点分裂策略
两个代表点的选择有多种策略，具体可以查看原文，此处介绍几种代表性策略：
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m_RAD: 计算 $\mathcal{N}$ 中所有节点两两之间距离，选择最小化 $r(O_{p_1})+r(O_{p_2})$ 的代表点； -
mM_RAD: 计算 $\mathcal{N}$ 中所有节点两两之间距离，选择最小化 $\max{r(O_{p_1}),r(O_{p_2})}$ 的代表点； -
m_LB_DIST: 将 $O_{p_1}$ 设置为原节点 $O_p$，选择距离 $O_p$ 最远的点作为 $O_{p_2}$.